5.8.4. Errores de cálculo.[El error como problema de los problemas, 5. Recapìtulación, 5.8. Conclusiones]Los fallos que hemos visto cometidos y referidos exclusivamente al cálculo tienen un amplio recorrido que cubre casi todo el abanico de posibilidades, aunque obviamente con distintas frecuencias. Comentaremos en este apartado la amplia variedad de tipos de error que conlleva el cálculo, ya sea a través de las distintas operaciones, posición de cifras, utilización de los valores relativos de las cifras o los relativos a la aplicación de la conmutatividad. Dejaremos aparcados, de momento, los errores de concepto consistentes en el cambio de una operación por otra aún manteniéndose razonablemente aceptables las deficiencias o los lapsus que puedan aparecer en relación al cálculo. La aparición evolutiva de dichos errores sigue la línea gradual con que se va administrando el aprendizaje de las operaciones: primero suma, después resta, más tarde las tablas de multiplicar y el producto, el cociente, relaciones, propiedades, etc, etc. Respecto a la primera, la suma, de aparición más temprana y que se apoya inicialmente en el uso de los dedos, muestra ciertos obstáculos cuando la operación tiene más de dos sumandos y sobre todo cuando el resultado pasa a tener dos cifras. Aparece una dificultad, en una parte de los alumnos, con la colocación correcta de los sumandos para hacer coincidir unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Cuando este orden no es respetado los resultados salen disparatados. No es un tema ni menor ni excepcional de los primeros cursos. Podemos observar esta conducta también en alumnos con varios años de escolarización. Más persistencia tienen los fallos derivados del ‘olvidarse de la que se lleva’, que tiñe de error una buena parte de la escolaridad si bien va decreciendo respecto a los primeros cursos. La resta, la segunda operación que se aprende, presenta unos mayores niveles de dificultad. Como en el caso anterior la correcta colocación de las cifras es una fuente habitual de errores, a los que se ha de añadir, a diferencia de la suma, la conmutatividad, la precisión y significancia del orden de los números que se operan. Minuendo y sustraendo no son intercambiables ni pueden ser colocados arbitrariamente arriba o abajo, pues el resultado, en la resta, sí que varía. Aquí ‘llevarse una’ es una tarea bastante más sofisticada que en el caso de la suma. Ahora no se trata de que pasarse de la decena (10, 20, etc.) sino de encontrarse con una cifra del minuendo inferior a la del sustraendo, lo que requiere que añadamos 10 al primero para poder realizar la operación y continuar añadiendo esa unidad a la cifra siguiente del sustraendo. El proceso, aunque con variantes, presenta un mayor nivel de dificultad, lo que se transforma en más errores y también más persistentes en el tiempo. Otro problema detectable en el caso de la resta, que dicho sea de paso sólo preocupa a los alumnos más motivados por las matemáticas, es qué ocurre cuando la cantidad a restar (sustraendo) es superior a la cantidad de la que restar (minuendo). En ese caso se hace necesario ampliar el campo de los números, de los naturales a los enteros, y esas explicaciones requieren mayor nivel de conocimientos y maduración. Mientras tanto, a los pocos niños que preguntan al respecto se les comenta que eso ya se estudiará en su momento, y como suelen ser buenos alumnos comprenden el retraso y solucionado el problema. Todo ello a cambio de que no existan situaciones frecuentes en la que haya que recurrir la ampliación de los enteros. El producto, al igual que la suma y a diferencia de la resta, no es conmutativo, es decir no interviene el orden de los factores en el resultado. Continúan produciéndose los errores ya comentados de ‘llevarse las de la cifra anterior’ si bien es cierto que el peso de tales errores tiene una relevancia menor frente ala resto de fallos. El gran problema en la utilización de la multiplicación es el aprendizaje de las tablas de multiplicar, sin las cuales no puede realizar la operación de una manera ágil y efectiva. Dicho aprendizaje es uno de los grandes handicaps en nuestros alumnos, no sólo los de los primeros cursos de Infantil sino también en los de la ESO, todo ello adobado con el hecho de la existencia de multitud de ‘gadgets’ que supuestamente están pensados para facilitar las cosas, pero son tan eficientes haciéndolo que además, también impiden su memorización. El escalonado de las filas correspondientes a las cifras del factor inferior tiene sus reglas, y una de ellas, concretamente la de correr un espacio más en el caso de que aparezca un 0, no suele ser bien conocido y utilizado y presenta bastantes errores. La división o cociente es la operación más compleja y difícil de las 4 básicas. La falta de conmutatividad genera dos conceptos: dividendo (la cantidad que se reparte) y divisor (el número entre los que se reparte), conceptos que no ni son fáciles ni se adquieren siempre definitivamente. A ellos se les añade el término cociente y el resto. Y a todos ellos otros muchos más que no pueden ser aparcados por más tiempo: decimales (que requieren la ampliación del campo de los enteros a los racionales), los múltiplos, divisores, etc. Y por si la parte conceptual de la operación con toda la terminología que la acompaña no fuera lo suficientemente complicada, el aprendizaje y dominio de las tablas de multiplicar ha de estar mucho más asentado, incluso para ser usado de modo inverso (por qué número multiplico otro para obtener un tercero) y además bajando cifras, respetando los espacios, añadiendo 0s al dividendo y/o al divisor (cuando ‘no cabe’), contar las que nos vamos llevando, etc, etc. ¡con lo sencillo que es apretar unos números y un signo en una calculadora! Las formas abreviadas de dividir (también de multiplicar aunque en menor grado) por la unidad seguida de 0s, facilita la mecánica cuando es correctamente comprendida. Cuando no, es otra perseverante fuente de errores amplificada por la puntual presencia de comas decimales. No son pocos los alumnos incapaces de resolver una división de dificultad media en los cursos más altos de la Secundaria Obligatoria. Común a las cuatro operaciones básicas tenemos otra dificultad añadida que es el uso de los decimales y las reglas que regulan su funcionamiento en cada una de ellas. Resumiendo, existen errores sistemáticos asociados al manejo mecánico del cálculo, que es bastante deficiente (en general) en todas la operaciones pero mucho más ostentoso a medida que va incrementándose la dificultad de las mismas. No pasaría nada, nada serio, quiero decir, si los alumnos no supieran realizar operaciones pero supieran como realizarlas, y también interpretarlas, utilizando la calculadora, por ejemplo. Pero este no suele ser el caso. Creo que todos los docentes hemos visto casos de alumnos que, profundamente convencidos, defendían que 8 entre 2 son cuatro, o que la mitad de 11 es 22 porque esos eran los resultados de la calculadora a la operaciones solicitadas sin tomar ningún tipo de verificación del resultado, es decir, en la creencia profunda de que la calculadora no hace lo que él dice, sino lo que él piensa que dice, que no siempre es lo mismo. Habría de buscar un punto intermedio entre el antiguo talibanismo pedagógico curil y franquista de ‘la letra con sangre entra’ y el buenismo roussoniano del ‘Emilio o De la Educación’ muy anterior, concretamente de 1762. No es de recibo que los alumnos sean insensibles a errores que debían surgir ante resultados muy abultados o minimizados porque ello significa no sólo que no saben operar con soltura, sino que no saben interpretar los resultados, lo que es mucho más grave Respecto a la conmutatividad. Ocurre a veces que el orden que tienen los operadores dentro de la operación afecta al resultado que obtenemos. Cuando el resultado no se ve afectado por el orden de los operadores decimos que una determinada operación cumple la propiedad conmutativa, y es el caso de la suma y el producto, hablando exclusivamente de las 4 operaciones básicas. Es decir, el orden de los sumandos no altera la suma y el orden de los factores no altera el producto. No ocurre eso en el caso de la resta y el cociente y de ello ya hemos hablado anteriormente. Solo pretendemos insistir en el hecho de que esta ausencia de conmutatividad es una fuente añadida de errores relacionados con tomar el minuendo por el sustraendo o viceversa. Insistir en el concepto de conmutatividad de la resta primero, y del cociente posteriormente, debe ser un aspecto a ser tenido en cuenta de forma previa para ser abordado antes de comenzar con la metodología que requiere su aprendizaje. Descolocación de cifras. Se trata de un tema ya comentado puntualmente en apartados anteriores. Si lo retomamos brevemente ahora es porque creemos que tal descolocación de cifras tiene una entidad y una dinámica propia más allá del uso concreto de cada operación. En la suma y la resta, y para tener superadas las deficiencias de colocación de las cifras, se ha de conocer, comprender y asumir el funcionamiento de nuestro sistema numérico decimal, es decir, que cada cifra a la izquierda de anterior tiene un valor 10 veces mayor, o si queremos decirlo de otra manera, se ha de tener conocimiento del valor posicional de las cifras que forman el número. Sumar o restar unidades con decenas, o centenas con millares después de haber colocado incorrectamente las cifras son fallos comunes a dichas operaciones, de las que están excluidas producto y cociente, cuya resolución implica mecánicas más laboriosas que la situación correlativa de la milésimas, centésimas, décimas, unidades, etc. para la cuales la presencia del 0 (en el segundo factor -caso del producto- o del dividendo -caso del cociente- provoca una significativa cantidad de fallos de cálculo, que a veces son meros despistes pero mayoritariamente suelen ser lagunas de conocimiento muy relacionadas con la ausencia de práctica en tales destrezas. Con todo, la división es la que genera más cantidad de errores de cálculo, lo cual es muy sencillo de entender dado que en ella se acumulan tachas de la suma, resta y producto a las que se le deben añadir las propias de la división, que no son pocas. Uso del decimal/entero. En los errores que aparecen al tratar los enteros como decimales o viceversa podemos hablar, al menos, de dos tipos de problemas Por lo que se refiere al primero, a lo conceptual, insistimos en que las deficiencias en el uso correcto del sistema decimal son muy notorias. A ello ha ayudado poderosamente el uso de múltiples artefactos que nos facilitan los cálculos directamente sin dificultad, tedio ni esfuerzo, lo cual es el aspecto bonito del asunto, pero que tampoco facilitan la interpretación que debe hacer nuestro cerebro sobre los resultados, de manera que lo que obtengamos de la máquina calculadora pasa a ser dado por bueno sin ningún tipo de crítica ni verificación. En segundo lugar tenemos la mecánica, la operatoria que nos permite el uso de décimas, centésimas, milésimas, etc., y que presenta, en general, más dificultades que el de las decenas, centenas, millares, etc. Los intercambios o transformaciones entre los múltiplos de la unidad y sus divisores, el paso, por ejemplo, de decenas a centésimas o de milésimas a centenares no es sencillo para una buena parte de los alumnos de cursos bastante elevados. No pocas veces podemos observar resultados que reflejan la débil comprensión y utilización del sistema decimal, la utilización caprichosa de la coma, confusiones entre conceptos como decena y décima, centena y centésima, etc. Todo ello se traduce en un empleo confuso y equívoco de conceptos como producto y cociente, en un manejo errático de la utilización operatoria de la unidad seguida de ceros como elemento de intercambio y, finalmente, en unos errores desorbitados en los resultados que pasan desapercibidos por nuestros alumnos, insensibles a los equívocos por falta de perspicacia o de asimilación del sistema decimal. |
