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Ecuaciones; Algunas consideraciones; Método de resolución; Ejemplos; Inecuaciones; Ejemplos de inecuaciones; Pautas de resolución

Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad matemática que sólo se cumple para determinados valores de la incógnita.
La ecuación está formada por dos miembros separados por el signo de igualdad (=). Cada miembro está integrado por términos, que pueden ser de dos tipos.
. Términos en X. Son aquellos formados por un número (llamado coeficiente) y la incógnita o parte literal (generalmente X). El coeficiente multiplica el valor desconocido de la incógnita; así, 3x significa 3 veces el valor de x.
. Términos independientes. Son aquellos formados únicamente por un número.
Los términos de un mismo tipo son semejantes entre sí y se pueden operar.
La siguiente igualdad es una ecuación:
  2x + 7x - 4 = 6x + 20 - x

En el ejemplo, el primer miembro está formado por la expresión 2x + 7x - 4, y el segundo miembro es 6x + 20 - x.
Los términos de esta ecuación son los siguientes: 2x, 7x, -4, 6x, 20, -x, con los siguientes términos en X: 2x, 7x, 6x, -x; y los siguientes términos independientes: -4, 20.


Algunas consideraciones en la resolución de ecuaciones
Para resolver una ecuación, debes tener en cuenta las siguientes consideraciones:
. Cuando se pasa un término al otro miembro de la ecuación, cambia la operación que efectua (si suma, resta; si resta, suma; si multiplica, divide y si divide, multiplica).
Ejemplos:
  Dada la ecuación 3x + 6 = 0, se cumple que 3x = -6.
  Dada la ecuación 3x = 1, se cumple que x = 1/3.
  Dada la ecuación x - 5 = 6, se cumple que x = 6 + 5.
Etc.
. El coeficiente de los términos en X en que sólo aparece la incógnita (como -x o x) es 1 con el signo de la parte literal.
. Si multiplicamos o dividimos cada uno de los términos de la ecuación por un número o una expresión, la ecuación no varía y por tanto, su solución tampoco.
Ejemplo:
  Dada la ecuación x + 5 = 4x - 5× 2,
  La ecuación 2x + 10 = 8x - 20 (resultado de multiplicar la primera por 2) es equivalente a la dada y presenta la misma solución, que es 5.

Método de resolución de ecuaciones
1) Antes de nada, debes ver si una ecuación tiene paréntesis indicados y/o fracciones.
. Si en la ecuación hay paréntesis, efectúa las operaciones que haya indicadas antes de seguir, ya que las operaciones incluidas en los paréntesis tienen preferencia sobre las demás. Y cuando se trate de multiplicar un número por el contenido de un paréntesis, o de dividir el paréntesis entre un número, ten en cuenta la tabla de los signos:
x (/) +  - 
 +  +  + 
 -  -  + 
. Y si en la ecuación hay denominadores, elimínalos multiplicando cada uno de los términos de la ecuación por el M.C.M.241 de los denominadores. De esta forma, las fracciones se transformarán en términos normales.
2) Una vez no haya ni paréntesis ni denominadores, agrupa los términos en X en un miembro (preferentemente en el primero) y los términos independientes en el otro (preferentemente en el segundo).
3) Tras eso, opera los términos semejantes en cada miembro. A un lado te quedará un término en X y al otro un término independiente. Si el término en X tiene coeficiente distinto de 1, pásalo al otro miembro recordando que si multiplica, pasa dividiendo; y si divide, debe pasar multiplicando el otro miembro.
4) Opera la operación que se indica y obtendrás el valor de la incógnita.

Ejemplos de ecuaciones

Dada la ecuación:
  4x + 2 + 3x = 37
1°.- Colocar los términos en X en un miembro y los números en el otro:
  4x + 3x = 37 - 2
2°.- Operar los términos semejantes:
  7x = 35
3°.- Aislar la incógnita:
  x = 35 / 7
4°.- Solución:
  x = 5

Dada la ecuación:
  5x - 2x = 72
1°.- Operar los términos semejantes:
  3x = 72
2°.- Aislar la incógnita:
  x = 72 / 3
3°.- Solución:
  x = 24

Dada la ecuación:
  4x + 6x - 4 = 36
1°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  4x + 6x = 36 + 4
2°.- Operar los términos semejantes:
  10x = 40
3°.- Aislar la incógnita:
  x = 40 / 10
4°.- Solución:
  x = 4

Dada la ecuación:
  (2x/3) + 1 = 5
1°.- Reducir denominadores (multiplicar los térm. por el M.C.M. de los denom.)
  3× (2x/3)+3× 1 = 3× 5
  (6x/3) + 3 = 15
  2x + 3 = 15
2°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  2x = 15 - 3
3°.- Operar los términos semejantes:
  2x = 12
4°.- Aislar la incógnita:
  x = 12 / 2
5°.- Solución:
  x = 6

Dada la ecuación: (4x/3) - 1 = 7
1°.- Reducir denominadores
  3× (4x/3) - 3× 1 = 3× 7
  (12x/3) - 3 = 21
  4x - 3 = 21
2°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  4x = 21 + 3
3°.- Operar los términos semejantes: 4x = 24
4°.- Aislar la incógnita:
  x = 24 / 4
5°.- Solución:
  x = 6

Dada la ecuación:
  4x - 3× (2x-1) = 15 - 4× (2x-3)
1°.- Eliminar paréntesis (operarlos) 4x - 3× 2x - 3× 1 = 15 - 4× 3x + 12
  4x - 6x - 3 = 15 - 12x + 12
2°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  4x - 6x + 12x = 15 + 12 + 3
3°.- Operar los términos semejantes:
  10x = 30
4°.- Aislar la incógnita:
  x = 30 / 10
5°.- Solución:
  x = 3


Recta e Hipérbola
La representación gráfica de una ecuación de 1° grado (y = ax + b) es una recta sobre el eje cartesiano. Si la función es inversa (y = a /x + b), la representación es una hipérbola. en la cuál la abertura, el vértice, y la posición dependen del valor de a y b:


Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad matemática que sólo se cumple para uno o varios intervalos de la incógnita.
La inecuación, como la ecuación, está formada por dos miembros que se relacionan mediante un signo de desigualdad (como <, >, o ).
Los términos de la inecuación, como los de la ecuación, pueden ser términos en X o términos independientes.
La siguiente desigualdad es una inecuación:
4x - 7 > 3x + 2

Pautas de resolución de inecuaciones
El funcionamiento de las inecuaciones es muy similar al de las ecuaciones. Sin embargo, presenta una diferencia fundamental:
. En las inecuaciones, cuando se multiplican o se dividen todos los términos por un número se debe tener en cuenta el signo de ese número:
. Si el signo es positivo, no hay problema. Se actúa como se actuaría con una ecuación.
. Si el signo es negativo, el signo de desigualdad de la inecuación cambia de dirección. Así, se dan los siguientes cambios de signo en la inecuación:


. Y si el número o la expresión por la que se multiplica/divide la inecuación contiene la incógnita, es decir, es un término en X, la operación no se puede llevar a cabo, puesto que al no conocer el signo de la incógnita, se desconoce la dirección del signo de la inecuación.

Ejemplo:
Dada la desigualdad 12 + 5 < 7× 3
Si multiplicamos la desigualdad por 5 (número positivo):
  5× 12 + 5× 5 < 5× 7× 3 => 60 + 25 < 105 => 85 < 105 (se cumple)
Si multiplicamos la desigualdad por -5 (número negativo) se cambia el signo y:
  (-5)× 12 + (-5)× 5 > (-5)× 7× 3 => - 60 - 25 > -105 => - 85 > - 105 (se cumple)

. El resto de observaciones son equivalentes a las dadas con las ecuaciones

Ejemplos de inecuaciones

Dada la inecuación: 4 - 5x < - 12 + 3x
1°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  - 5x - 3x < - 12 - 4
2°.- Operar los términos semejantes:
  - 8x < - 16
3°.- Aislar la incógnita:
  x > (-16)/(-8)
4°.- Solución:
  x > 2

Dada la inecuación:
  - 6× (x-2) - (4-3x) > x - 5
1°.- Eliminar paréntesis:
  - 6x + 12 - 4 + 3x > x - 5
2°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  - 6x + 3x - x > - 5 - 12 + 4
3°.- Operar los términos semejantes:
  - 4x > - 13
4°.- Aislar la incógnita:
  x < (-13)/(-4)
5°.- Solución:
  x < 3,25

Dada la inecuación:
  (x/2) - ((x-3)/3) 1
1°.- Reducir denominadores:
  6× (x/2) - 6× ((x-3)/3) 6× 1
  6x/2) - (6× (x-3)/3) 6
  3x - 2× (x-3) 6
  3x - 2x + 6 6
2°.- Colocar los términos en X en un miembro y los independientes en otro:
  3x - 2x 6 - 6
3°.- Operar los términos semejantes:
  x 0



V.3.1
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