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Derechos Reservados © Juan A Cordero, 2015

Introducción al Álgebra | Ecuaciones e inecuaciones |

Sistemas de ecuaciones; Método de reducción; Método de sustitución; Método de igualación

Sistemas de ecuaciones
Se llama sistema de ecuaciones a aquel conjunto de ellas cuyas soluciones son comunes. Un sistema de ecuaciones se indica escribiéndolas unas debajo de otras y abrazadas todas por una llave.
Ejemplo de sistema de dos ecuaciones

Los sistemas sirven para resolver ecuaciones de varias incógnitas (dos, tres, etc.), que no podemos conocer a través de una sola ecuación.
La solución del sistema asigna a las incógnitas unos valores que cumplen las igualdades de que forman parte.
Para resolver los sistemas (que pueden estar formado por tres, cuatro o más ecuaciones) existen varios métodos de resolución que a veces pueden utilizarse solos -cuando el sistema está formado por 2 ecuaciones-, pero que otras veces requerirán su uso combinado hasta lograr conocer la totalidad de los valores de las incógnitas.

Método de reducción
Se toman dos ecuaciones integrantes del sistema.
Se modifica la situación de los términos de las ecuaciones hasta lograr una distribución de los mismos equivalentes en las dos ecuaciones. Después, se multiplica -si es necesario- una o las dos ecuaciones hasta lograr que una incógnita se halle en las dos ecuaciones con el mismo coeficiente y el signo cambiado.
Tras esta preparación, se procede a sumar término a término las ecuaciones. Si se ha procedido correctamente, una incógnita se eliminará y la expresión resultante proporcionará el valor de la otra incógnita.

Ejemplo:

La situación de los términos de las ecuaciones es la misma. Ahora multiplicamos la segunda ecuación por 3, para conseguir que la incógnita y se halle en las dos ecuaciones con signo diferente -ya está así- y mismo coeficiente.

Una vez encontrado el valor de x, se sustituye en una de las dos ecuaciones y se plantea una ecuación con una incógnita de la que saldrá el valor de y.

Así pues, la solución del sistema es x=3 e y=-2.

Método de sustitución
Se toman dos ecuaciones integrantes del sistema.
En una ecuación -la más propicia a ello, que llamaremos A- se aísla una incógnita en el primer miembro. Posteriormente, en la otra ecuación (B) se sustituyen las menciones a esa incógnita por el segundo miembro de la ecuación A. De este modo, se elimina una incógnita y queda una ecuación con una incógnita de fácil resolución.

Ejemplo:

En la segunda ecuación, aislamos la incógnita x, de forma que queda

Modificamos la segunda ecuación para hacerla más sencilla:

Después, sustituimos el segundo miembro de la ecuación modificada (- 4 + y) en la primera ecuación, en los términos donde está indicada x.

Para encontrar el valor de x, sustituimos y por su valor en una de las ecuaciones:

Así pues, la solución del sistema es:
x=3 e y=7.

Método de igualación
Se toman dos ecuaciones integrantes del sistema.
Se aísla en las dos ecuaciones la misma incógnita, en el primer miembro.
Posteriormente, se genera otra ecuación que relacione mediante el signo de la igualdad los segundos miembros de las dos ecuaciones.
Así se consigue eliminar la incógnita aislada y poder trabajar con una ecuación de una incógnita.

Ejemplo:

Aislamos la incógnita y en las dos ecuaciones, en el primer miembro.

Si y es igual al contenido del segundo miembro de la primera ecuación, y a la vez es equivalente al segundo miembro de la segunda ecuación, eso significa que el segundo miembro de la primera y la segunda ecuación son iguales.
  (4 - 3x) / (-8)=(3 - 2x) / (-4)
Para quitar denominadores, multiplicamos toda la ecuación por -8:
  4 - 3x = 2 . (3 - 2x)
  4 - 3x = 6 - 4x
Acabamos de desarrollar la ecuación hasta encontrar el valor de x.
  -3x + 4x = 6 - 4
  x = 2
Y si x es igual a 2, entonces y es:
  -4y = 3 - 2x
  -4y = 3 - 2 × 2
  -4y = 3 - 4
  -4y = -1
  y = 0,25
Al final obtenemos los resultados x=2 e y=0,25.

V.3.3