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Winmates. Libro de Consulta

Derechos Reservados © Juan A Cordero, 2015

Introducción al Álgebra | Polinomios | Propiedades de las operaciones básicas | Potenciación. Binomio de Newton | Operaciones básicas |

Suma y diferencia de polinomios; Producto de polinomios; Cociente de polinomios (Método de Ruffini y aplicaciones)
Puesto que los polinomios y las expresiones algebraicas son representaciones de números a través de incógnitas (x, y, etc.), es posible realizar con ellos las mismas operaciones básicasoperacionesbasicas que utilizamos con las expresiones numéricas: suma, resta, producto y cociente.

Suma y diferencia de polinomios

Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios, se reúnen ambos en una única expresión algebraica (polinomio resultado) y se suman sus términos semejantes.
Ejemplo:

. Sumamos los polinomios
  P(x) = 5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8 y
  Q(x) = x^3 + 9x^2 + 13x + 15;
  S(x) = P(x) + Q(x)
. Sustituimos los polinomios por su valor.
  S(x) = (5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8) + (x^3 + 9x^2 + 13x + 15)
  S(x) = 5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8 + x^3 + 9x^2 + 13x + 15
. Ordenamos la nueva expresión según su grado.
  S(x) = 5x^5 - 7x^3 + x^3 + 4x^2 + 9x^2 + 13x - 8 + 15
. Reducimos (sumamos) los términos semejantes.
  S(x) = 5x^5 + (- 7 + 1)x^3 + (4 + 9)x^2 + 13x + (- 8 + 15)
. Y obtenemos el polinomio resultado S(x).
  S(x) = 5x^5 - 6x^3 + 13x^2 + 13x + 7

Resta de polinomios
Para restar dos polinomios, se cambiaban el signo al polinomio sustraendo, se reúnen los dos polinomios en una única expresión algebraica (polinomio diferencia) y se reducen sus términos semejantes.
Ejemplo:

. Sumamos los polinomios
  P(x) = 5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8 y
  Q(x) = x^3 + 9x^2 + 13x + 15:
  D(x) = P(x) - Q(x)
. Sustituimos los polinomios por su valor.
  D(x) = (5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8) - (x^3 + 9x^2 + 13x + 15)
. Cambiamos el signo de los términos del polinomio sustraendo, esto es, Q(x).
  D(x) = 5x^5 - 7x^3 + 4x^2 - 8 - x^3 - 9x^2 - 13x - 15
. Ordenamos la nueva expresión según su grado.
  D(x) = 5x^5 - 7x^3 - x^3 + 4x^2 - 9x^2 - 13x - 8 - 15
. Reducimos los términos semejantes.
  D(x) = 5x^5 + (- 7 - 1)x^3 + (4 - 9)x^2 - 13x + (- 8 - 15)
. Y obtenemos el polinomio diferencia D(x).
  D(x) = 5x^5 - 8x^3 - 5x^2 - 13x - 23

Disposición práctica para la suma y la resta
Para sumar o restar polinomios existe una forma de operar que puede simplificar los cálculos cuando las expresiones constan de muchos términos.
Para operar de esta manera, se escriben los polinomios sumados o restados uno debajo de otro, colocando en columna los términos semejantes, siguiendo el siguiente esquema:

Tras poner los polinomios en esa disposición, se procede a sumar (o restar, según la operación) los términos de cada columna.

Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios los colocamos uno debajo de otro, de forma que los términos semejantes de ambas expresiones queden en la misma columna (disposición práctica, ver apartado anterior).
Una vez dispuestos los polinomios de esta forma, se multiplica cada término del polinomio inferior por todos los monomios del polinomio superior y posteriormente se suman los productos resultantes, tal y como se muestra en el Ejemplo.
Ejemplo:


Casos especiales
Existen varios casos de productos de binomios, llamados binomios notables, que por su importancia merecen una mención especial (ver I.2.7 Potenciación. Binomio de Newton127). Es recomendable que los tres binomios que detallamos aquí se aprendan de memoria.

. Cuadrado de un binomio suma:
El cuadrado de un binomio suma es el cuadrado del primer componente más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b) . (a + b) = (a + b)² = a² + 2× a× b + b²


. Cuadrado de un binomio diferencia:
El cuadrado de un binomio diferencia es el cuadrado del primer componente menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a - b) . (a - b) = (a - b)² = a² - 2× a× b + b²


. Suma por diferencia:
El cuadrado de un binomio suma por ese binomio diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de sus componentes .
(a + b) . (a - b) = a² - b²


Cociente de polinomios
Para dividir un polinomio P(x) entre otro D(x), se disponen ambos como si se tratara de una división aritmética


y se divide el primer término de P(x) entre el primero de D(x), siendo el resultado el primer término de C(x). Acto seguido, se multiplica ese término por D(x) y se anota el polinomio resultante cambiado de signo, bajo P(x), de forma que cada columna albergue términos de igual grado.
Después, se suman los dos polinomios y se obtiene el polinomio resto, que funcionará como nuevo dividendo. Tras ello, se repite el proceso con la nueva expresión, hasta llegar a un polinomio resto de menor grado que D(x).
Como en cualquier división, en el cociente de polinomios se cumple que:
P(x) = C(x) . D(x) + r(x)
Ejemplo:

Se quiere dividir el polinomio P(x) = 6x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 5x entre D(x) = x^3 + x^2 - 9.


Así pues, el resultado de la división sería el polinomio C(x) = 6x - 9x + 12, y el resto, cuyo grado debe ser menor que el del divisor, R(x) = 30x - 86x + 108

Método de Ruffini y aplicaciones
La regla o método de Ruffini constituye un método rápido para dividir polinomios entre binomios del tipo x + a sin efectuar las complejas operaciones de una división entre polinomios típica.
Para ello, se disponen los coeficientes del polinomio dividendo ordenadamente, dejando espacios en blanco para los grados que no estén representados en la expresión. Posteriormente, se coloca el término independiente cambiado de signo del binomio divisor en el margen inferior izquierdo del polinomio dividendo, de la siguiente manera:


Siendo C5, C4... los coeficientes que corresponden a los términos con los exponentes situados en los subíndices.
Para dividir con esta disposición, se procede de la siguiente forma:
 1.- Se baja el primer coeficiente por la izquierda y se multiplica por - a, colocando debajo del siguiente coeficiente.
 2.- Se suma ese número con el coeficiente y se coloca el resultado debajo de ellos.
 3.- Se multiplica ese número por - a y se sitúa el producto bajo el siguiente coeficiente. Se suma el resultado con el coeficiente y se coloca debajo.
 4.- Este procedimiento se repite hasta llegar al último coeficiente.
Una vez finalizado el proceso, el resto de la división es el último número de la línea de resultados, el que se sitúa debajo del último coeficiente. Y el cociente es un polinomio ordenado y completo cuyos coeficientes son todos los resultados excepto el último, que ya hemos dicho que es el resto. Este polinomio cociente siempre es un grado menor que el dividendo.
Ejemplo:


  Se quiere dividir el polinomio P(x) = 4x^4 - 9x^2 + 7x + 18 entre el binomio B(x) = x + 3, siguiendo el método de Ruffini.
  Se disponen los coeficientes de P(x) y el término independiente de B(x) según lo establecido anteriormente:


En la división anterior, el polinomio cociente sería C(x) = 4x^3 - 12x^2 + 27x + 89, y el resto sería 240.

Cabe resaltar que el resto que obtenemos en el método de Ruffini es también el valor numérico que toma el polinomio dividendo para x = - a.


Ejemplo:
Esta propiedad del valor numérico es fácilmente comprobable con los polinomios del ejemplo anterior.
Si calculamos el valor numérico de P(x) para x = - 3, obtendremos el resto, esto es, 240:
  P(3) = 4× (- 3)^4 - 9× (- 3)^2 + 7× (- 3) + 18 = 324 - 81 - 21 + 18 = 240.

El método de Ruffini se utiliza, además de para dividir entre binomios de manera rápida, para descomponer polinomios y obtener las soluciones enteras de ecuaciones de grado superior a dos.
V.2.2