Multiplicar | Dividir | Raíces | Operaciones con polinomios | Grado de una potencia

Potenciación; Propiedades; Operaciones con potencias; Binomio de Newton. Triángulo de Tartaglia. Binomios notables

La potenciación es una operación que consiste en la multiplicación por sí misma de una cierta cantidad un determinado número de veces.
La potencia se representa de la siguiente forma:
= a × a × a ... b veces

donde a es la base y b es el exponente. La base es el número que vamos a multiplicar por sí mismo; y el exponente es el número de veces que la base va a ser multiplicada.
Así, 4^5 (4 elevado a la quinta) es igual que multiplicar 4 por sí mismo 5 veces: 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1024.
Ejemplos:
6^3 = 6 . 6 . 6 = 216
3^4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

Propiedades

. Toda potencia de exponente 0 es igual a la unidad: a^0 = 1.
¿Por qué?
Para dividir potencias de la misma base, restamos los exponentes (ver Operaciones con potencias) Así, a^b/a^b = a^(b-b) = a^0.
Además, un número dividido por sí mismo da 1, por lo que a^b/a^b = 1.
Es decir, a^0 = 1.

. Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: a^1 = a.
. Toda potencia de exponente par es positiva: (-3)^4 = 81.
. Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base: (-3)^5 = -243.
. Una potencia elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la potencia con exponente positivo.
Ejemplo: 2^-3 = 1/(2^3) = 1/8.
. Una potencia elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo radicando es la base de la potencia, cuyo exponente del radicando es el numerador del exponente de la potencia y cuyo índice es el denominador de la potencia del exponente: 25^1/2 = 25^1 = 5^2 = 5.

Operaciones con potencias

Para operar con potencias éstas deben tener la misma base.
. El producto de potencias de la misma base es igual a la suma de los exponentes.
Ejemplo: 3^4 . 3^2 = 3^4+2 = 3^6
. El cociente de potencias de la misma base es igual a la diferencia de exponentes.
Ejemplo: 2^4 / 2^3 = 2^4-3 = 2^1
. La potencia de una potencia es igual al producto de los exponentes.
Ejemplo: ( 7^3 )^2 = 7^3× 2 = 7^6

Binomio de Newton. Triángulo de Tartaglia. Binomios notables

Se entiende por binomio de Newton el desarrollo de un binomio (a+b) elevado a un exponente n.
Las aplicaciones más usuales del binomio de Newton son el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia.
Estos casos se conocen genéricamente con el nombre de binomios notables.

. Binomio de Newton
El desarrollo de un binomio (a + b, siendo a y b números racionales) elevado a un exponente n es igual a un polinomio completo con las siguientes características:
. Su grado es el exponente n.
  . El polinomio está integrado por una sucesión de productos de a por b (monomios).
  . Los exponentes de los factores b de los diferentes monomios tienen un crecimiento positivo desde 0 hasta el exponente n.
  . Los exponentes de los factores a de los monomios tienen un decrecimiento desde el exponente n hasta 0.
  . Los coeficientes de los productos de a por b se rigen por el Triángulo de Tartaglia (ver abajo).
  Ejemplo:

(a+b) = 1× a^2× b^0 + 2× a^1× b^1 + 1× a^0× b^2 = a^2 + 2× a× b + b^2

. Triángulo de Tartaglia
  Mediante esta figura podemos conocer los coeficientes de los binomios de Newton.
  Las líneas del triángulo corresponden con el grado del exponente del binomio.
  Así, la primera línea por arriba corresponde al grado 0 ((a+b)^0=1), la segunda corresponde al grado 1 ((a+b)^1=a^1+b^1=a+b), la tercera corresponde al grado 2, etcétera.
  Triángulo de Tartaglia.

Grado
Coeficientes
n=1
1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
n=6
1 6 15 20 15 6 1
n=7
1 7 21 35 35 21 7 1
n=8
1 28 56 70 56 28 8 1
n=9
...

. Binomios notables.
   => (a+b)² = a + 2× a× b + b
El cuadrado de la suma (a+b) es igual al cuadrado del primer sumando, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
   => (a-b)² = a - 2× a× b + b
El cuadrado de la diferencia (a-b) de dos números es igual al cuadrado del primer sumando, menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
   => (a+b)× (a-b) = a² - b²
La suma de dos números por la diferencia de esos números (a+b)(a-b) es igual a la diferencia de los cuadrados de los números operados.
Ver V.2.2 Operaciones con polinomios: Casos especiales del producto de polinomios.

I.2.7
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